北京市密云区2022-2023高一下学期期末考试数学试题（含答案）

北京市密云区2022-2023学年第二学期期末考试
高一数学试卷
2023.07
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂有共五个车间，各车间人数所占比例依次为：车间，车间车间车间车间．现采用分层抽样的方法，从该工厂所有人中抽取300人作为样本，则该样本中得到车间或车间的人数共为（ ）
A．195 B．165 C．120 D．45
4．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，则该四棱锥的体积为（ ）
A．48 B．18 C．16 D．8
5．（ ）
A． B． C． D．
6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．水稻是世界最重要的粮食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．在应用该技术的两块面积相等的试验田中，分别种植了甲、乙两种水稻，观测它们连续6年的产量（单位：kg）如表1所示：
表1 甲、乙两种水稻连续6年产量
年 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年
甲 2890 2960 2950 2850 2860 2890
乙 2900 2920 2900 2850 2910 2920
根据以上数据，下列说法正确的是（ ）
A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小
B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
8．函数（其中的部分图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
9．在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点．若，则（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得平面
C．是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为
D．对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．复数______；______．
12．某校组织全体学生参加了主题为“创新实践、快乐成长”的科技知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示：则的值为______；用样本估计总体，则全校学生成绩的第45百分位数为______．
13．已知菱形的对角线长为4，则______．
14．若的面积为，且为钝角，则______；的取值范围是______．
15．已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列三个结论：
①的值可能是3；
②的最小正周期可能是；
③在区间上单调递减．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题满分14分）
已知向量．
（Ⅰ）若，求和；
（Ⅱ）若与平行，求实数的值；
（Ⅲ）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
18．（本小题满分15分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求在区间上的最值，并求出此时对应的的值；
（Ⅲ）若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围．
19．（本小题满分14分）
在中，角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在①，②，③这三个条件中，选出其中的两个条件，使得唯一确定，并解答下面问题：
若______，______，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集．
（Ⅰ）判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①；
②．
（Ⅱ）若是的3元完美子集，求的最小值．
北京市密云区2022-2023学年第二学期期末考试
高一数学试卷参考答案
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A C B A B C
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．
11．． 12．． 13．8． 14．． 15．①③
三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，，
所以，
．
（Ⅱ）因为与平行，所以，解得．
（Ⅲ）因为与夹角为锐角，
所以且与不共线同向，则且，
解得的范围：．
17．（本小题满分15分）
（Ⅰ）证明：设，连接．
在四棱柱中，是正方形，所以为中点．
又因为为中点，所以．
因为面面，所以面．
（Ⅱ）证明：在四棱柱中，面．
因为面，所以．
在正方形中，．
又因为面面，
所以面．
因为面，所以．
（Ⅲ）解：在四棱柱中，
因为面，所以是三棱锥的高．
所以．
18．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）因为
．
所以的最小正周期．
因为函数的增区间为
所以令，
得，
所以的单调递增区间为．
（Ⅱ）因为，所以．
所以当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值1．
（Ⅲ）．
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由正弦定理知，
因为，
所以．
因为，所以．
因此，
即：，
所以．
在中，．
所以，即．
因为，
所以．
（Ⅱ）选择①③，即．
由余弦定理：，
可得：，
所以．
所以．
选择②③，即．
由正弦定理知，
所以．
因为，
所以，
所以．
选择①②时，不存在．
20．（本小题满分15分）
（Ⅰ）证明：因为为中点，
所以，
又因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面．
因此．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，平面，所以．
在矩形中，
又因为，所以平面．
所以．
又因为，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（Ⅲ）存在为中点时，平面．
证明：取中点为，连接，
因为为中点，，且．
在矩形中，为中点，
所以，且．
所以，且．
所以四边形为平行四边形，
因此．
又因为面面，
所以面．
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）①因为，且，所以不是的3元完美子集；
②因为，且，而，
是的3元完美子集．
（Ⅱ）不妨设．
若，则，与3元完美子集矛盾；
若，则．，而，符合题意，此时．
若，则，于是，所以．
综上，的最小值是12．